设＜ H,‧＞和＜ K,‧＞都是群＜ G,‧＞的子群,令HK={h‧k|h∈H,k∈K},证明:＜ HK,‧＞是＜ G,‧＞的子群的充要条件是HK=KH。

证明，如果< H,*>和< K,*>都是群< G,*>的正规子群，那么(H∩K,*)也是一个正规子群。

设< G,*>是一个偶数阶的群，设< H,*>是< G,*>的一个子群，这里|H|=|G|/2，证明< H,*>是正规子群。

设< H,*>是群< G,*>的一个子群,如果A={x|x∈G,x*H*x^-1=H}, 证明:< A,*>是< G,*>的一个子群。

设 < G,* > 是群,对任一a∈G,令H={yly*a=a*y,y∈G},试证明: < H,* >是 < G,* > 的子群。

设< G,*>为群,R为G.上等价关系且对任意x,y,z∈G,若(x*z)R(y*z),则zRy,设H={h|h∈G且hRe},求证< H,*>为< G,*>的子群。其中e是< G,*>的幺元.

设f和g都是< G₁,★>到< G₂,*>的群同态,且试证< H₁,★>是< G₁,★>的子群。

设p < q,q是质数,则在pq阶的群< G,*>中q阶子群< H,*>一定是正规子群。