设A=(aij)n×n是正定矩阵,对于Rn中任意两个(列)向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T,令 〈α,β〉=αTAβ (6-14
设A=(aij)n×n是正定矩阵,对于Rn中任意两个(列)向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T,令
〈α,β〉=αTAβ (6-14)
设A=(aij)n×n是正定矩阵,对于Rn中任意两个(列)向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T,令
〈α,β〉=αTAβ (6-14)
第1题
在Rn×n中,对于A=(aij)n×n,B=(bij)n×n,验证
〈A,B〉=tr(ABT) (6-15)
为Rn×n的一个内积,并具体写出这个空间的柯西-许瓦兹不等式.
第2题
设α,β是欧氏空间V中任意两向量,证明平行四边形定理
‖α+β‖2+‖α-β‖2=2(‖α‖2+‖β‖2)
第3题
设α1,α2,…,αm是欧氏空间V中的m个向量.令行列式
证明:α1,α2,…,αm线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α1,α2,…,αm的格拉姆(Gram)行列式).
第4题
令R[x]2的内积为
(6-19)
试应用施密特正交化方法,由R[x]2的基:f0=1,f1=x,f2=x2,求R[x]2的标准正交基.
第5题
设e1,e2,…,e5是5维欧氏空间V的一个标准正交基.W是由α1,α2,α3所生成的V的子空间,其中α1=e1+e5,α2=e1-e2+e4,α3=2e1+e2+e3.试求W的一个标准正交基.
第6题
设e1,e2,…,en是n维欧氏空间V的一个标准正交基,α是V中任一非零向量,φi是α与ei的夹角.证明
(6-20)
第7题
设e1,e2,…,en是n维欧氏空间V的一个基.证明:如果对于V中任意两个向量α=a1e1+a2e2+…+anen,β=b1e1+b2e2+…+bnen,都有
〈α,β〉=a1b1+a2b2+…+anbn (6-23)
则e1,e2,…,en是V的一个标准正交基.
第8题
已知3维欧氏空间V的基α1,α2,α3的度量矩阵为求V的一个标准正交基,并验证V的这两个基是合同的。
第9题
设W=span{α1,α2,α3}是R4的一个子空间,其中α1=(1,0,-1,2)T,α2=(-1,1,1,0)T,α3=(3,-1,-3,4)T.求W的正交补空间W⊥.
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