试证投影定理：设W是n维欧氏空间V的子空间，那么V是W与W⊥的直和，即.

设，其中α₁=(2/3，2/3，-1/3)^T，α₂=(-1/3，2/3，2/3)^T.求向量β=(0，3，0)^T在W及W^⊥上的正交投影.

试求点M(-4，8，6)到直线L:x=2t，y=t，z=5t的距离.

设W是欧氏空间V的一个子空间，α是V中一向量，α₁=projwα为α在W上的投影.证明：在α与W中各点的距离中，以α与α₁的距离为最小，即

设A为m×n矩阵，b为m维列向量.如果线性方程组Ax=b无解，则称Ax=b为矛盾方程组.所谓矛盾方程组Ax=b的最小二乘解是指这样的n维(列)向量x^*，它使得

    (6-26)

  由于W={Ax|x∈Rⁿ)是A的列空间，所以从欧氏空间的距离的角度讲，最小二乘解x^*就是这样的向量，它使得在b与W中各点的距离中，以b与Ax^*的距离为最小.根据6-25题，这样的向量Ax^*必然存在，而且它就是b在W上的正交投影.因此，方程组Ax=b的最小二乘解必然存在.