试求点M（-4，8，6)到直线L:x=2t，y=t，z=5t的距离.

设W是欧氏空间V的一个子空间，α是V中一向量，α₁=projwα为α在W上的投影.证明：在α与W中各点的距离中，以α与α₁的距离为最小，即

是指这样的n维(列)向量x^*，它使得

    (6-26)

  由于W={Ax|x∈Rⁿ)是A的列空间，所以从欧氏空间的距离的角度讲，最小二乘解x^*就是这样的向量，它使得在b与W中各点的距离中，以b与Ax^*的距离为最小.根据6-25题，这样的向量Ax^*必然存在，而且它就是b在W上的正交投影.因此，方程组Ax=b的最小二乘解必然存在.

设变量b可用变量a₁，a₂，…，a_n的1次式表示：a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=b.为了确定其中的系数x₁，x₂，…，x_n给出a₁，a₂，…，a_n，b的m组测量值a_i1，a_i2，…，a_in，b_i(i=1，2，…m).于是，只要求出联立1次方程组

  a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n=b_i (i=1，2，…，m)  (6-28)的解x₁，x₂，…，x_n就可以了.但由于测量的误差及通常情况下m＞n，此时方程组(6-28)-般无解.这时，对于方程组(6-28)的最理想的x₁，x₂，…，x_n的值，是取使得在各点处偏差

  a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n-b_i (i=1，2，…，m)的平方和

    (6-29)

  达到最小的x₁，x₂，…，x_n.由微分学知道，这样的x₁，x₂，…，x_n一定满足(j=1，2，…，n)，即满足

    (6-30)

  现在记矩阵A=(a_ij)_m×n，列向量b=(b₁，b₂，…，b_m)^T，x=(x₁，x₂，…，x_n)^T.

下列映射中，不是线性变换的是

  (A).

  (B).

  (C)，而A为取定的n阶实方阵.

  (D).  [ ]

设T∈L(R³)，定义为

    试求ker(T).

设线性变换T：F[x]₂→F[x]₃，定义为

  试求R(T).

下列线性变换T为单射的是

  (A).

  (B)，其中，矩阵.

  (C).

  (D)

设W是欧氏空间V的一个子空间，{ε，…，ε_r}是W的一个标准正交基，令映射T：V→W为

  T(α)=projwα=〈α，ε₁〉ε₁+…+〈α，ε_r〉ε_r，α∈V

  证明：T是线性变换(称T为由V到W的正交射影).

证明：Rⁿ到R^m的映射T为线性变换的充分必要条件，是存在矩阵A∈R^m×n，使得.

设T∈L(R³)，定义为T(x)=Ax，，其中

  证明：