设α，β是欧氏空间V中任意两向量，证明平行四边形定理 ‖α+β‖2+‖α-β‖2=2（‖α‖2+‖β‖2)

设α₁，α₂，…，α_m是欧氏空间V中的m个向量.令行列式

  证明：α₁，α₂，…，α_m线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α₁，α₂，…，α_m的格拉姆(Gram)行列式).

令R[x]₂的内积为

    (6-19)

  试应用施密特正交化方法，由R[x]₂的基：f₀=1，f₁=x，f₂=x²，求R[x]₂的标准正交基.

设e₁，e₂，…，e₅是5维欧氏空间V的一个标准正交基.W是由α₁，α₂，α₃所生成的V的子空间，其中α₁=e₁+e₅，α₂=e₁-e₂+e₄，α₃=2e₁+e₂+e₃.试求W的一个标准正交基.

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个标准正交基，α是V中任一非零向量，φ_i是α与e_i的夹角.证明

    (6-20)

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n，β=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n，都有

  〈α，β〉=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n  (6-23)

  则e₁，e₂，…，e_n是V的一个标准正交基.

已知3维欧氏空间V的基α₁，α₂，α₃的度量矩阵为求V的一个标准正交基，并验证V的这两个基是合同的。

设W=span{α₁，α₂，α₃}是R⁴的一个子空间，其中α₁=(1，0，-1，2)^T，α₂=(-1，1，1，0)^T，α₃=(3，-1，-3，4)^T.求W的正交补空间W^⊥.

试证投影定理：设W是n维欧氏空间V的子空间，那么V是W与W^⊥的直和，即.

设，其中α₁=(2/3，2/3，-1/3)^T，α₂=(-1/3，2/3，2/3)^T.求向量β=(0，3，0)^T在W及W^⊥上的正交投影.