设函数f（z)在复平面上解析, ,求对任一正整数k,所数f（z)/z在点z=0的留数 .

设函数f(z)在z平面上解析，且｜f(z)｜恒大于一个正的常数，试证f(z)必为常数．

设z=x+iy，试证函数

除原点外在全复平面解析，当z≠0时，求出f(z)．

若函数f(z)在上半z平面内解析，试证函数

在下半z平面内解析．

如果单叶解析函数w=f(z)把z平面上可求面积的区域D共形映射成w平面上的区域G，试证G的面积 A=

｜f(z)｜2dxdy，(z=x+iy)．

试证：函数f(z)=

在z平面上处处连续．

若函数f(z)在上半平面内解析，则函数在下半平面内解析．

试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导函数． (1)f(z)=x3+3x2yi一3xy2一y3i； (2)f(z)=ex(xcosy—ysin y)+iex(ycos y+xsin y)； (3)f(z)=sin x．cosh y+i cos x．sinh y； (4)f(z)=cos x．cosh y—i sin x．sinh y．

证明下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数．

  (1)f(z)=e^x(xcosy-ysiny)+ie^x(ycosy+xsiny);

  (2)f(z)=sinxchy+icosxshy.

求下列函数f(z)在扩充复平面上的奇点，并判别类型．