非空集合A的基数为n,求集合A.上的等价关系的数目.

对于下列集合和二元运算，判断在A上是否封闭。如果是封闭的，则指出它是否满足交换律、结合律，是否有零元和单位元。

(1)A=P({a，b})，a*b=a∪b。

(2)S^S，其中S为任意非空集合，运算为函数合成。

(3)A是非空集合B上所有关系的矩阵集合，*为关系矩阵乘法(相加采用逻辑加)。

(4)A=nZ={nk|k∈Z}，n是正整数，*为普通乘法。

(5)为集合的对称差。

(6)非空集合B上所有等价关系的集合，

设π和π'时非空集合A上的划分,并设R和R'是分别由π和π'诱导的等价关系,那么,π细分π'的充要条件是

对任何,A上的等价关系R的等价类为().

A.空集

B.非空集

C.有时为空集,有时为非空集

D.

例证明。

设P表示非空集合A的所有划分的集合，考虑偏序集合,设π₁和π₂是P的成员，

(a)证明π₁·π₂是集合{π₁,π₂}的最大下界。

(b)证明π₁+π₂是集合{π₁,π₂}的最小上界。

考虑任意集合A上的二元关系的集合，如果某一集合运算施于关系后，所得关系仍具有相同的性质，那么说一个关系的性质在该集合运算下是保持的。例如自反性质在二元运算并之下是保持的，因为两个自反关系的并是自反的。然而，自反性质在集合的求补运算下是不保持的，因为一个非空集合上的一个自反关系的绝对补不是一个自反关系。按照在指出的集合运算下给出的性质是否保持，填充下表。对每一非(N)的回答，给出反例。