设f₁,f₂都是从代数系统（A,★)到代数系统＜ B,*＞的同态.设g是从A到B的一个映射,使得对任意a∈A,都有g（a)=f₁（a)*f₂（a)。 证明:如果＜ B,*＞是一个可交换半群,那么g是一个由＜ A,★＞到＜ B,*＞的同态。

设为同类型代数系统，V₁×V₂是积代数，定义函数f：A×B→A，f(<x，y>)=x，证明f是V₁×V₂到V₁的同态映射。

设f₁,f₂,f₃,f₄是从N到N的下述函数：

设Ei是函数fi诱导出的等价关系。

(a)画出一有向图代表下述偏序集合：

<{N/E₁,N/E₂,N/E₃,N/E₄},细分>

(b)对每一i，找出在从N到N/E_i的规范映射下3的象。

设F₁(x),F₂(x)为分布函数.

(1)判断F₁(x)+F₂(x)是不是分布函数,为什么?

(2)若a₁,a₂是正常数,且a₁+a₂=1,证明:a₁F₁(x)+a₂F₂(x)是分布函数.

b₂，...，b_n是任意n个数，显然适合条件L(a_i)=b_i，i=1，2，...，n。这称为拉格朗日(Lagrange)插值公式。

利用上面的公式求：

1)一个次数<4的多项式f(x)，它适合条件：f(2)=3，f(3)=-1，f(4)=0，f(5)=2。

2)一个二次多项式f(x)，它在x=0，2/π，π处与函数sinx有相同的值。

3)一个次数尽可能低的多项式f(x)，使f(0)=1，f(1)=2，f(2)=5，f(3)=10。

.,a_n为任意数，证明:行列式

并举例说明条件“次数≤n-2”是不可缺少的.

设A={a,b},s为A^A,即S={f₁,f₂,f₃,f₄},诸f由表11.4给定.

(1)给出S上的函数复合运算.的运算表

(2)是否有幺元、零元?

(3)中哪些元素有逆元?逆元是什么?

设a₁，a₂，...，a_n是n个不同的数，而F(x)=(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n)。证明：

1)

2)任意多项式f(x)用F(x)除所得的余式为

设f(x)是严格减小的连续函数,0<a<c.记

则().

A.I₁>I₂

B.I₁<I₂

C.I₁=I₂

D.I₁与I₂的关系不能确定

给定的数，用克拉默法则证明：存在唯一的数域P上的多项式使f(a_i)=b_i，i=1，2，...，n。