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（请给出正确答案）
[填空题]
设X=X₁*X₂*…*Xₙ是n≥1个拓扑空间X₁，X₂，…，Xₙ的积空间，Y也是拓扑空间，则映射f：Y→X是连续映射当且仅当对于每一个j=1，2，…，n，复合映射Pj。f：Y—X，是（），其中每一个Pj：X→Xj都是投射。
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设(X，τX)，(Y，τY)是拓扑空间．证明f：X→Y连续当且仅当对Y的每个子集B，
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第2题
设X，Y为拓扑空间，证明T：X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1（A)是X的闭集．
设X，Y为拓扑空间，证明T：X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集．
第3题
设τ1，τ2是X上的两个拓扑，I是X上的恒等映射．证明I：（X，τ1)→（X，τ2)连续当且仅当τ2τ1．
设τ1，τ2是X上的两个拓扑，I是X上的恒等映射．证明I：(X，τ1)→(X，τ2)连续当且仅当τ2
第4题
设（X，，μ)是测度空间，其中X是局部紧的σ－紧的Hausdorff空间，拓扑为τX，，μ是正则的且对X的任何紧集K有μ（K)＜∞（注
设(X，
，μ)是测度空间，其中X是局部紧的σ-紧的Hausdorff空间，拓扑为τX，
，μ是正则的且对X的任何紧集K有μ(K)＜∞(注意
第5题
设X与Y是赋范空间，若映射T: X[图]Y满足（），则称T是拓...
设X与Y是赋范空间，若映射T: X
Y满足（），则称T是拓扑同构映射.
A、T是双射
B、T是线性映射
C、T是连续的
D、
是连续的
都是非空集合X的拓扑,并且
证明:当拓扑空间
是紧致空间,则拓扑空间
也是紧致空间.第7题
设{xα：α∈D)，{yβ：β∈E)都是拓扑空间x中的网，若存在映射F：E→D使 （SN1)yβ=xF（β)； （SN2)α∈D，β0∈E，当时有； 则
设{xα：α∈D)，{yβ：β∈E)都是拓扑空间x中的网，若存在映射F：E→D使
(SN1)yβ=xF(β)；
(SN2)
则称{yβ：β∈E}是{xα：α∈D}的子网．证明：若网{xα：α∈D}收敛于x，则它的任何子网{yβ：β∈E}也收敛于x．
第8题
设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规
设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使
，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规空间的当且仅当它的每个子空间完全正规．
第9题
设（X，ρ)是紧度量空间，T是X到自身的映射且满足条件：对任意x，y∈X，当x≠y时，ρ（Tx，Ty)＜ρ（x，y)．证明T在X上有唯一
设(X，ρ)是紧度量空间，T是X到自身的映射且满足条件：对任意x，y∈X，当x≠y时，ρ(Tx，Ty)＜ρ(x，y)．证明T在X上有唯一不动点．
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