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[主观题]

证明拓扑空间X为To空间当且仅当对于X中任意不同的两点x,y,或者{x}nc(iyl)=Ф,或者c(x|)∩{y}=Ф.

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第1题

证明.每一满足第二可数性公理的正则空间都是完全正现空间.

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第2题

证明定理6.6.3的条件(1)中“T3”可改成"Tychonoff”或“T4”;条件(3)中“可分的”可以改成或“满足第二可数性公理”.

请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!

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第3题

构造实数空间R的一个商空间,使得它不是T0空间,不是正则空间,也不是正规空间(因此不满足所有的分离性公理)(提示:综合例 6. 5.1和例 3. 3.1中用到的技巧.)

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第4题

设X为T4空间,U为X的开集,C为X的连通子集,并且U∩C≠Ф:证明或者C为单点集,或者U∩C为不可数集.

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