设H为可分Hilbert空间，A∈BL（H)。求证：A相对于H的某一标准正交基为对角的当且仅当A为正规的且H为所有A的特征

设H为Hilbert空间，{u_n}为H的可数标准正交集，{u_n}不一定为完全的。{k_n}为有界纯量序列，用E表示集合{k_n:n=1，2，…}。对x∈H令

    (19)

  求证：

  (a)A∈BL(H)且

  (b)

  (c)若，则A-kI的逆B由下式给出

  ，k=0，

  ， k≠0

设A为Hilbert空间H上的算子。H的子空间F称为A的不变子空间若有。[例如，A的值域R(A)为A的不变子空间。]若A为正规的，E为由A的特征向量组成的集合，F₁=E^⊥，F₂为由E生成子空间的闭包。求证F₁和F₂都为A的闭不变子空间。

设H为复Hilbert空间，W为所有BL(H)中自伴算子之集，W₁为BL(H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W，记

  U(A)=(A-iI)(A+iI)¹

  求证：U为从W到W₁的一一映射，其逆由下式给出：

  U^-1(B)=i(I+B)(I-B)^-1， B∈W₁

  [U(A)被称为A的Cayley变换。]

设H=L²[0，1]，其中数域。对x∈H，令

  ，0≤s≤1

  求证：A∈BL(H)为自伴的，求m_A和M_A

设A∈BL(H)，H为Hilbert空间。若A为自伴且为可逆的，求证：

  举例说明上述不等式可以是严格的。

设H为Hilbert空间，A∈BL(H)，W(A)为A的数值域。求证：

  (a)W(A)=ω(UAU^-1)，其中U为H上的酉算子

  (b)若W(A)至少含有两个点，则W(A)的导集为W(A)

设H为有限维Hilbert空间，A∈BL(H)。若

  (i)A为自伴的或

  (ii)A为正规的且数域K为

  求证：存在纯量t₁，t₂，…，t_m存在Y₁，Y₂，…，Y_m为两两正交的H的子空间，使得任取x∈H

  x=y₁+y₂+…+y_m， y_i∈Y_i，

  A(x)=t₁y₁+…+t_my_m

设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A^*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A^*可交换。

设H为Hilbert空间，A∈BL(H)。求证：

  (a)A为紧算子当且仅当A^*A为紧算子。

  (b)若A为紧的，则A^*为紧的。