设A∈BL（H)，H为Hilbert空间。若A为自伴且为可逆的，求证： 举例说明上述不等式可以是严格的。

设H为Hilbert空间，A∈BL(H)。求证：A的数值域W(A)为凸集。

设H为Hilbert空间，A∈BL(H)，W(A)为A的数值域。求证：

  (a)W(A)=ω(UAU^-1)，其中U为H上的酉算子

  (b)若W(A)至少含有两个点，则W(A)的导集为W(A)

设H为有限维Hilbert空间，A∈BL(H)。若

  (i)A为自伴的或

  (ii)A为正规的且数域K为

  求证：存在纯量t₁，t₂，…，t_m存在Y₁，Y₂，…，Y_m为两两正交的H的子空间，使得任取x∈H

  x=y₁+y₂+…+y_m， y_i∈Y_i，

  A(x)=t₁y₁+…+t_my_m

设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A^*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A^*可交换。