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[多选题]

属于反治法的有

A.三因制宜

B.热因热用

C.寒因寒用

D.塞因塞用

E.通因通用

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第1题

若对环R中每个元素a都有a’∈R（a’与a相关)使a=aa’a，则称R为正则环．证明： 1)P一环是正则环．但

若对环R中每个元素a都有a’∈R(a’与a相关)使a=aa’a，则称R为正则环．证明： 1)P一环是正则环．但反之不成立； 2)再指出正则环的子环不一定是正则环； 3)对正则环R中任二元素a，b，都有R中幂等元e1，e2使 Ra=Re1， Ra+Rb=Re2．

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第2题

设R是一个正则环．证明：若R中元素a对R中任意元素x都存在b∈R使 ax+b+axb=0．则a=0．

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第3题

设T是r（r≥2)元正则树，i和t分别为分支点数和树叶数，证明：t=（r－1)i＋1．

设T是r(r≥2)元正则树，i和t分别为分支点数和树叶数，证明：t=(r-1)i+1．

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第4题

证明：1)集合关于方阵的普通加法与乘法作成一个有单位元的交换环．又问单位群R*=？ 2)当F

证明：1)集合

关于方阵的普通加法与乘法作成一个有单位元的交换环．又问单位群R*=？ 2)当F为有理数域时R还作成域．但当F为实数域时R不作成域．

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第5题

设环R是环R1，R2…．Rn的直和，即证明：φi：a1＋…＋ai＋…＋an→ai是R到Ri的同态满射（称为正则投射)，且

设环R是环R1，R2…．Rn的直和，即

证明：φi：a1+…+ai+…+an→ai是R到Ri的同态满射(称为正则投射)，且

其中0是零同态，ε是R的恒等变换．

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第6题

R={0, a，b，c}，加法和乘法由以下两个表给定:证明，R作成一个环。

R={0, a，b，c}，加法和乘法由以下两个表给定:

证明，R作成一个环。

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第7题

设（R，+)是环,若R的乘法运算*满足幂等性，即对于任意x∈R有x·x=x，则称（R，+)是布尔环，证明：（1)对于任意x∈R有x+x=0。（2)布尔环是交换环。（3)若|R|>2,则（R，+)不是整环。

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第8题

设R是一个整环．如果有一个R*=R一{0}到非负整数集的映射φ满足 1)对R中任意元素a及b≠0，有q，r∈

R，使 a=bq+r， r=0或φ(r)＜φ(b)； 2)对R中任意非零元素a，b都有φ(ab)≥φ(a)，则称R是一个V欧氏环．证明：V欧氏环必有单位元，从而是欧氏环．

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第9题

设R为所有有理数对（x₁，x₂)作成的集合，加法和乘法分别为问R是否作成环？是否可交换和有

设R为所有有理数对(x₁，x₂)作成的集合，加法和乘法分别为

问R是否作成环？是否可交换和有单位元？哪些元素有逆元？

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