距离空间之间的连续映射，把紧集映成列紧集.

试证明：

  设f:Rⁿ→Rⁿ，且满足

  (i)若是紧集，则f(K)是紧集；

  (ii)若{K_i}是Rⁿ中递减紧集列，则，则f∈C(Rⁿ)．

设{T_n}是Banach空间X上的紧算子列并且强收敛于线性算子T，试举例说明T不必是紧算子．

设实函数f(x)，f_n(x)(n=1，2，…)在紧空间X上连续。如果{f_n(x)}是单调函数列，且对每个x∈X，有{f_n(x)}→f(x)，那么{f_n(x))在X上一致收敛于f(x)。

举例说明全有界集不一定是列紧的。

设{H_n}是一列Hilbert空间，满足．令H=，记．证明：A是紧算子的充要条件是每个A_n是紧算子且‖A_n‖→0．

A、欧氏空间中的 Cauchy 列必为收敛点列

B、紧集必为有界闭集

C、压缩映射最多只有一个不动点

D、函数 sin x 是 [-1, 1] 上的压缩映射

试证明：

  设f∈C(R¹)，{F_k}是R¹中的递减紧集列，则

  ．

A.32

B.33

C.34

D.35