请叙述列紧集、完全有界集、有界集的定义。并阐述三者的关系。

举例说明全有界集不一定是列紧的。

A、欧氏空间中的 Cauchy 列必为收敛点列

B、紧集必为有界闭集

C、压缩映射最多只有一个不动点

D、函数 sin x 是 [-1, 1] 上的压缩映射

B.敦促 不日/日前 即使/也

C.督促 日前/不日 虽然/但是

D.敦促 日前/不日 即使/也

  设定义在R¹上的函数f(x)满足：

  (i)若是有界集，则f(X)在E上有界；

  (ii)若是紧集，则f^-1(K)是闭集，则f∈C(R¹)．

  设f:[a，b]→R¹，作图形集G_f={(x，f(x))：x∈[a，b]}．若G_f是R²中的紧集(有界闭集)，则f连续．(若G_f只是闭集，则结论不真，如f(x)=1/x(x≠0)，f(0)=0．)

证明：准紧集的任何子集是准紧的，紧集的任何闭子集是紧的。