在距离空间中，列紧的闭集就是紧集.

证明：准紧集的任何子集是准紧的，紧集的任何闭子集是紧的。

设{u_n：n∈}是Hilbert空间H中的规范正交集，说明它给出的是一个有界闭集而非紧集的例子．设Q是H中所有形如x=c_nu_n(这里|c_n|≤1/n)的点x的集(Q称为Hilbert方体)，证明Q是紧的．更一般地，设{δ_n}是一个正数的序列，S是H中所有形如x=c_nu_n(这里|c_n|≤δ_n)的点x的集，证明S是紧的当且仅当＜∞，并证明H不是局部紧的．

A、

B、的定义域

C、的定义域

D、间断点的集合

证明：准紧集的闭包是紧集。

A、X是Banach空间

B、X的真子空间必为闭子空间

C、X中的单位开球不是列紧集

D、X中的有界闭集不是紧集

试证明：

  设f:[a，b]→R¹，作图形集G_f={(x，f(x))：x∈[a，b]}．若G_f是R²中的紧集(有界闭集)，则f连续．(若G_f只是闭集，则结论不真，如f(x)=1/x(x≠0)，f(0)=0．)

A、X中的单位球面是紧集

B、X中的单位闭球是紧集

C、X中的有界集是列紧集

D、X中的有界闭集是紧集

E、X中的单位开球是列紧集

若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集。()

证明：准紧集为紧集的充分必要条件是它为闭的。