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[主观题]
设＜ G,*＞是一个n阶循环群,生成元为s,则对于n的任一因子d,存在唯一的d阶子群.
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第1题
令a是群G的一个元素。令<a>={an|n∈Z}。证明<a>是G的一个子群，称为由a所生成的循环子群。特别，如果G=<a>，就称G是由a生成的循环群。试各举出一个无限循环群和有限循环群的例子。
是域,这里+和·是一般加法和乘法。第5题
设< R,+,·>是一个环，且对所有a∈R有a2=a，这样的环称为布尔环。 (a)证明< R,+,·>是个可交换环。 (b)证明对于所有的a∈R,有a+a=0， (c)试证明,如果|R|>2,则< R,+,·>不可能是个整环。
第8题
设< H,*>和< K,*>都是群< G,*>的子群， 证明当且仅当HK=KH时< HK,*>是< G,*>的子群。
设< H,*>和< K,*>都是群< G,*>的子群，
证明当且仅当HK=KH时< HK,*>是< G,*>的子群。
是一个阿贝尔群。第11题
在群< G,*,-1,e>中。 (a)如果对任意元索a∈G有a2=e，则< G,*,-1,e>是阿贝尔群。 (b)如果对任意元素a,b∈G，有(a*b)2=a2*b2,则< G,*,-1,e>是阿贝尔群，
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