设平面区域D由一条连续闭曲线L所围成，区域D的面积设为S，推导用曲线积分计算面积S的公式:

_y，是D内任意一点。证明

设D是由曲线y=e^x，y=e^(-x)及直线x=l所围成的平面区域， 如图所示.

(1)求D的面积A.

(2)求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.

设f(z)在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数

  (1)试用柯西积分公式证明：

    (2)设M为|f(ξ)|在C上的最大值，L为C的长，d为z到C的最短距离，试用积分估值公式中的等式，证明不等式：

    (3)令n→+∞，对(2)中的不等式取极限，证明|f(z)|≤M,这个结果表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得(最大模原理)．

  根据这一结果可知：在无源无旋的平面稳定非可逆的流场中的流速最大值，即它的复势f(z)的导数的模|f'(z)|不能在场的内部取得，只能在场的边界上取得．

设一平面薄板(不计其厚度)，它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷。

设l为0xy平面上的单一围线.证明:l包围的区域D的面积为S=.

设平面薄片所占的闭区域D由螺线r=2θ上一段弧(0≤θ≤)与直线θ=所围成，它的面密度为ρ(x,y)=x²+y²，求这个薄片的质量.

设平面上区域D在x轴和y轴上的投影长度为的面积为|D|，为D内任一点，证明:

设D为两条直线y=x，y=4x和两条双曲线xy=1，xy=4所围成的区域，F(u)是具有连续导数的一元函数，记。证明

其中的方向为逆时针方向。

明