设R是集合A上的一个任意关系,R*=tr（R),证明下列各式。

可否断定{A₁,A₂,...,A_k}为A的一个划分?若可以,请证明它确为A的划分;若不可以,请补适当条件,以使上述断言成立.

(a)如果R₁和R₂都是自反的，那么R₁R₂是自反的。

(b)如果R₁和R₂都是反自反的，那么R₁R₂是反自反的。

(c)如果R₁和R₂都是对称的，那么R₁R₂是对称的。

(d)如果R₁和R₂都是反对称的，那么R₁R₂是反对称的。

(e)如果R₁和R₂都是传递的，那么R₁R₂是传递的。

a)对于任意在X上的二元关系R,有R⁺是可传递的。

b)若有X上任何其他传递关系P,使得

c)R+就是定义3-8.1中所说的传递闭包。

(1)(R⁺)⁺=R⁺

设R1和R2是集合A上的关系，且有R1  R2，则r(R1)  r(R2)。