设X是拓扑空间，A是X的子集，下面正确的命题是（）。

设都是非空集合X的拓扑,并且证明:当拓扑空间是紧致空间,则拓扑空间也是紧致空间.

A.若X是T₁空间，则X是T₀空间

B.若X是L空间且正则，则X是T₁空间

C.若X是正规空间，则X是正则空间

D.若X是完全正则空间，则X是正则空间

A.若X是第二可数的，则X是Lindelof空间

B.若X是第二可数的，则X是可分的

C.若X是Lindelof的度量空间，则X是可分的

D.若X是Lindelof空间，则X是可分的

设X是赋范空间，A，A₁，A₂是X的非空有界子集，b∈，α是非紧性测度，证明：

A.若X是可度量化空间，则Y是可度量化空间

B.若X是可度量化的完备空间，则Y是可度量化的完备的空间

C.若X是离散空间，则Y是离散空间

D.若X是Hausdorff空间，则Y是Hausdorff空间

设X是拓扑空间，是X的非空子集族且满足

(F1)

(F2)若A，B∈，则

(F3)若A∈，AB，则B∈，

则称是X上的一个滤子．若对X上的任一滤子，由蕴涵，则称滤子是一个极大滤子或超滤．若点p∈X的邻域系有，则称滤子收敛于p，记为．证明下列命题：

设(X，ρ)是度量空间，为X的非空有界子集的族，d表示X的子集的直径．非紧性测度α：定义为

α(A)=inf{δ＞0：A∪B_i，

有限个B_i使d(B_i)≤δ)，证明：

A.X中的单位球面是紧集

B.X中的单位闭球是紧集

C.X中的有界集是列紧集

D.X中的有界闭集是紧集

E.X中的单位开球是列紧集

设(X，ρ)是完备度量空间，α是非紧性测度，{A_n}是X的非空递缩有界闭集，即有A_nA_n+1，．若α(A_n)→0(n→∞)，证明A=A_n是X中非空的紧集．

A.X是Banach空间

B.X的真子空间必为闭子空间

C.X中的单位开球不是列紧集

D.X中的有界闭集不是紧集