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[填空题]
设X是拓扑空间，如果存在（），则称集合U是点Xa∈X的邻域。
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设X是拓扑空间，x∈X，A
，则称x为A的聚点．A的一切聚点之集称为A的导集，记为A'．
证明：
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第1题
设X是拓扑空间，x∈X，AX．若对点x的每个邻域U，有U∩,（A\{x})≠，则称x为A的聚点．A的一切聚点之集称为A的导集，
第2题
设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规
设X是拓扑空间，若X的任意两个隔离子集A，B分别有开邻域U和V使
，则称X是完全正规空间．证明拓扑空间是完全正规空间的当且仅当它的每个子空间完全正规．
第3题
设X是具有单位元的Banach代数，x∈X，如果存在{xn}X，‖xn‖=1，使得xxn→θ或xnx→θ，则称x是X的一个拓扑零因子．证明：
设X是具有单位元的Banach代数，x∈X，如果存在{xn}
第4题
设X是拓扑空间，是X的非空子集族且满足 （F1) （F2)若A，B∈，则 （F3)若A∈，AB，则B∈， 则称是X上的一个滤子．若
设X是拓扑空间，
是X的非空子集族且满足
(F1)
(F2)若A，B∈
，则
(F3)若A∈
，A
，
则称
是X上的一个滤子．若对X上的任一滤子
，由
蕴涵
，则称滤子
是一个极大滤子或超滤．若点p∈X的邻域系
有
，则称滤子
收敛于p，记为
．证明下列命题：
第7题
证明：若函数f（x)在点x0连续且f（x0)≠0，则存在x0的某一邻域U（x0)，当x∈U（x0)时，f（x)≠0．
证明：若函数f(x)在点x0连续且f(x0)≠0，则存在x0的某一邻域U(x0)，当x∈U(x0)时，f(x)≠0。
第8题
设f（x)在点x=a的某个邻域内有定义，则f（x)在点x=a处可导的一个充分条件是（)． （A) h[f（a＋1／h)－f（a)]存在；
设f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在点x=a处可导的一个充分条件是( )．
第9题
证明：若函数f（x)在点x0连续且f（x0)≠0，则存在x0的某一邻域U（x0)，当x∈U（x0)时，f（x)≠0．
证明：若函数f(x)在点x0连续且f(x0)≠0，则存在x0的某一邻域U(x0)，当x∈U(x0)时，f(x)≠0．
第10题
设（X，ρ)为度量空间，T：X→X为映射，若存在常数β＞1使ρ（Tx，Ty)≥βρ（x，y)，x，y∈X，则称T为扩张映射．设X是完备的，证明
设(X，ρ)为度量空间，T：X→X为映射，若存在常数β＞1使ρ(Tx，Ty)≥βρ(x，y)，
第11题
设f（x)在x=a的某邻域内有定义，则f（x)在x=a处可导的一个充分条件是 （A)存在 （B)存在 （C)存在 （D)存在
设f(x)在x=a的某邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是
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