试将三维各向同性谐振子的径向方程和Coulomb场中束缚态的径向方程联系起来，并利用后者的本征解得出前者的本

对于幂函数型中心势场

  V(r)=λr^v， -2＜ν＜∞  (1)

  试找一个变换，将ν＞0和ν＜0的径向方程联系起来，并加以讨论．

质量为μ的粒子在中心势场

  V(r)=λr^ν， -2＜ν＜∞  (1)

  中运动．只讨论能够出现束缚态的情形，即λν＞0的情形．(a)找出特征长度的量纲构造式，将径向方程无量纲化；(b)视h、μ、λ为参量，确定能级构造和它们的关系；

  (c)分别就ν=2、1、-1三种特例作具体讨论．

粒子在中心力场中运动，处于束缚态

    (1)

  径向波函数的归一化条件为

    (2)

  如以原点为球心以给定的半径a画一球面，则粒子在球内出现概率为

    (3)

  如势能为幂函数型：

  V(r)=λr^ν， -2＜ν＜∞  (4)

  试证明：当粒子质量μ或作用强度|λ|增大时，概率P(a)只能增大，不会减小．

粒子在中心势场V(r)中运动，处于能量本征态

    (1)

  如ψ已经归一化，则势能平均值等于

    (2)

  试证明：如V(r)为单调上升函数，即dV/dr＞0，则对于任意给定的距离a，均有

    (3)

对于中心力场V(r)的任何一个束缚态，证明

    (1)

  并解释其经典力学含义．

类氢离子(核电荷Ze)中电子处于束缚态ψ_nlm，计算〈r^λ〉，λ=-1，-2，-3．

对于类氢离子(核电荷Ze)的(H，l²，l_z)共同本征态ψ_nlm，证明各〈r^λ〉之间有递推关系(Kramers公式)

    (1)

  求出这公式成立的条件．并用来计算〈r〉及〈r²〉．

三维各向同性谐振子，总能量算符为

    (1)

  对于(H，l²，l_z)的共同本征态

    (2)

  计算〈r^-2〉，进而计算离心势能和径向动能平均值．

对于三维各向同性谐振子，(H，l²，l_z)的共同本征态为，求各〈r^λ〉的递推关系，并用以计算〈r²〉及〈r⁴〉．

定度关系分析使能量为最小的条件)．