设[图]是Hilbert空间H的一个标准正交基，[图] 则以下命...

设H为Hilbert空间，{u_a}为H的标准正交集。求证：下述命题相互等价：

  (a)＜u_a＞为H的标准正交基

  (b)

  (c)任取x，y∈H，有

  

  其中 

  {u_n：n=1，2，…}={u_a：＜x，u_a＞≠0或者＜y，u_a＞≠0)

设H为无穷维Hilbert空间，{u_n}为H的标准正交基，{u_n}为H的某一标准正交序列。{k_n}为一纯量列。求证：

  (a)若{k_n}为有界的，则

  ，x∈H

  定义了BL(H)中一元。

  (b)A为紧的当且仅当k_n→0

  (c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当

设H为无穷维Hilbert空间，{u_n}为H的标准正交基，{u_n}为H的某一标准正交序列。{k_n}为一纯量列。求证：

  (a)若{k_n}为有界的，则

  ，x∈H

  定义了BL(H)中一元。

  (b)A为紧的当且仅当k_n→0

  (c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当

设M是Hilbert空间H的非空子集，则当且仅当

设H为可分Hilbert空间，{u_n}为H的标准正交基，{k_n}为有界纯量列求证：

  ， x∈H

  定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[＜strong＞对角算子＜/strong＞]]。求A的特征值和谱。

设H为可分Hilbert空间，{u_n}为H的标准正交基，{k_n}为有界纯量列求证：

  ， x∈H

  定义了H上的正规算子[这样的算子被称为对角算子]。求A的特征值和谱。

设H为可分Hilbert空间，求证：

  (a)H的每一标准正交集必为可数的。

  (b)H有Schauder基。

设H为可分Hilbert空间，{u_n}为H的标准正交基。假定BL(H)中元A和B相对于{u_n}的矩阵表示分别为(a_ij)和(b_ij)，求证：

  (a)这两个矩阵的每一行和每N均为平方可和的。

  (b)AB和A^*分别由(c_ij)和(d_ij)表示，其中

  ,

设{u_n：α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得

    (11)

  求证：

  (a)

  (b)若{v_i：i∈J}为H的另一标准正交基，则

  

  (c)A为紧算子。

  [使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]

设{u_n：α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得

    (11)

  求证：

  (a)

  (b)若{v_i：i∈J}为H的另一标准正交基，则

  

  (c)A为紧算子。

  [使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]