设φ（x)在[a，b]上连续可微，且0＜φ'（x)＜1，x=φ（x)在[a，b]上有根x^*，x₀∈[a，b]，但x₀≠x^*，则由

设X=C¹[a，b]，即为[a，b]上所有连续可微函数空间。对x∈Y，令

  ‖x‖=‖x‖_∞+‖x'‖_∞ ‖x‖₁=|x(a)|+‖x'‖_∞，

 其中x'是x导数。证明X赋有上面任一个范数都是Banach空间。再证明对X中所有x，

  ‖x‖₁≤‖x‖≤(b-a+1)‖x‖₁，

 且常数b=a+1是最佳的。

设u=u(x，y)可微，且当y=x²时，有u(x，y)≡1及，则当y=x²(x≠0)时，=(  )

  A．  B．-

  C．0  D．1

设单值函数f₁(x)，f₂(x)连续于[a，b]且f₁(x)＞f₂(x)，(a≤x≤b)．设D是由曲线y=f₁(x)，y=f₂(x)及直线x=a，x=b围成的平面域，而F(x，y)连续于D.又设g_λ(x)是有连续微商的单值函数而

  C_λ：y=g_λ(x)(a≤x≤b)是一条在y=f₁(x)，y=f₂(x)(a≤x≤b)之间上下振动(起伏)的光滑曲线(其一起一伏的顶点与底点系依次布列在y=f₁(x)，y=f₂(x)上)，起伏的周期为，并且设

  

  于是下列公式普遍成立：

  [徐利治]

设函数f(x)在区间a≤x＜+∞上二次可微，并有：1)f(oa)=A＞0；2)f'(a)＜0；3)f"(x)≤0(x＞a)．证明方程f(x)=0在区间(a，+∞)内有唯一的实根．

(拉普拉斯的渐近积分定理)设φ(x)，h(x)及f(x)=e^h(x)定义在有穷或无穷间隔a≤x≤b上且满足下列各条件：

  (i)φ(x)(f(x))ⁿ在[a，b]上为绝对可积(n=0，1，2，…)．

  (ii)函数h(x)在[a，b]的一个内点ξ处达到有效最大值(即对[a，b]间一切异于ξ的x点而言总是h(ξ)＞h(x+0)，h(ξ)＞h(x-0))．并设h(x)在ξ的邻域内有二级的连续微商而h'(ξ)=0，h"(ξ)＜0．

  (iii)φ(x)在x=ξ处连续，而φ(ξ)≠0．于是当n→∞时即有下列的渐近公式：

  

设f(x)在[a，b]上可微，求证存在点ξ∈(a，b)使在n≥1时成立．

设f(x，y)是可微函数，且f(0，0)=0，f_x(0，0)=a，f_y(0，0)=b．令φ(t)=f(t,f(t，t))，则φ'(0)=(  )．

  A．a  B．a+b(a+b) C．a+1  D．

1 设初等函数f(x)在区间[a，b]有定义，则f(x)在[a，b]上一定(  )．

  (A)可导  (B)可微  (C)可积  (D)不连续

设在区域D内f(x，y)可微，且又A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是D内两点，线段AB包含在D内．试证

  |f(x₁，y₁)-f(x₂，y₂)|≤M|AB|，

  其中|AB|表示线段AB的长度．

设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可微，且满足证明在(0，1)内至少有一点a，使f(a)+af'(a)=0