设区域Ω由分片光滑封闭曲面E所围成，u（x,y,z)在点上具有二阶连续偏导数，且在互上调和，即满足。（

设光滑曲面S包围有界闭区域Ω,而函数u=u(x,y,z)在Ω上二阶连续可微分,证明:

设Ω由曲面x2+y2+z2，x=2，x=4所围成，计算

设∑是空间区域Ω的光滑边界曲面，n为∑上动点(x，y，z)处的外法向单位向量， (x，yo，zo)是∑上一定点，r＝｛x＝xo，y－yo，z－zo｝， r＝｜r｜

设∑是空间有界闭区域Ω的整个边界曲面，函数u(x，y，z)和v(x，y，z)是定义在Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，分别表示u,v沿∑的外法线方向的方向导数，证明下面的格林第二公式：

  

计算，其中Ω是由曲面z=xy与平面y=x，x=1和z=0所围成的闭区域．

设为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有

求其中Ω是由曲面y=x²，y=x+2，4z=x²+y²，z=x+3所围成的区域．