设上连续，又，证明上一致收敛于零.

设f(t)在t>0上连续,反常积分时都收敛，证明上一致收敛。

试证明：

  设{f_n(x}}是R¹上非负渐降连续函数列．若在有界闭集F上f_n(x)→0(n→∞)，则f_n(x)在F上一致收敛于零．

设S₀(x)在区间[0,a]上连续，令

证明：{S_n(x)}在[0,a]上一致收敛于0。

设f为上的连续函数，证明：

  (1){xⁿf(x)}在上收敛

  (2){xⁿf(x)}在上一致收敛的充要条件是f(1)=0

设k(s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1]有k(s，t)=k(t，s)。设A定义在L²[0，1]为

  ，0≤s≤1， x∈L²[0，1]。

 求证：存在非零实序列{λ_n}，存在由[0，1]上的连续函数组成的标准正交序列{u_n}，使得对x∈L²[0，1]

  

 其中，若上述级数为无穷级数，则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λ_n|²＜∞

设k(s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1]有k(s，t)=k(t，s)。设A定义在L²[0，1]为

  ，0≤s≤1， x∈L²[0，1]。

 求证：存在非零实序列{λ_n}，存在由[0，1]上的连续函数组成的标准正交序列{u_n}，使得对x∈L²[0，1]

  

 其中，若上述级数为无穷级数，则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λ_n|²＜∞

设f_n∈L^p(E)(1≤p＜∞，n∈N)，试证明下列命题等价：

  (i)存在f∈L^p(E)，使得

  ．

  (ii)存在f∈L^p(E)，使得f_n(x)在E上依测度收敛于f(x)，而且Γ={|f_n(x)|^p}具有积分一致绝对连续性，即对任给ε＞0，存在δ＞0，使得

   (n∈N，且m(e)＜δ)．

设f_n∈L^p(E)(1≤p＜∞，n∈N)，试证明下列命题等价：

  (i)存在f∈L^p(E)，使得

  ．

  (ii)存在f∈L^p(E)，使得f_n(x)在E上依测度收敛于f(x)，而且Γ={|f_n(x)|^p}具有积分一致绝对连续性，即对任给ε＞0，存在δ＞0，使得

   (n∈N，且m(e)＜δ)．

证明(n=1，2，…)在[0，+∞)上逐点收敛于零，但不一致收敛．