题目内容
（请给出正确答案）
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA：V→V：对于任意X∈V=Mn(C)，αA(X)=AX-AX。
(i)证明
，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
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第1题
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第2题
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f(λ1)，f(λ2)，···，f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆，那么λi≠0，i=1，2，...，n，并且
是A-1的全部特征根。
第3题
令
(i)证明N是幂零矩阵，于是B=D+N。这样能不能作为定理2的证明?
(ii)设
，B=D+N是不是B的若尔当分解?B的若尔分解应该是什么样子?
(iii)仔细地读一下定理2，再看一看用(i)作为定理2的证明错在哪里?
第4题
(i)证明：存在C上n阶可逆矩阵T，使得
(ii)对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个上三角形矩阵
相似，这里主对角线以下的元素都是零。
第6题
在基ε1，ε2，...，εn下的矩阵是一若尔当块。证明：1)V中包含ε1的-子空间只有V自身;
2)V中任一非零-子空间都包含εn;
3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。
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作成一个与复数域C同构的域。
