利用定理7.22证明:（1)当A为无限集时,p（A)为无限集.（2)当A为无限集,B≠时,AXB为无限集.（3)当A为

证明下列定理：

(1)设有两个矩阵对策，G1={s1，s2;A1}，G2={S1，S2;A2}，其中A1=(aij)，A2=(aij+L)，L为任一常数，则有VG2=VG1+L，T(G1)=T(G2)。(定理7)

(2)设有两个矩阵对策，G1={s1，s2;A}，G2={S1，S2;aA}，其中a>0为任一常数。则VG2=aVG1，T(G1)=T(G2)(定理8)

(3)设G={s1，s2;A}为矩阵对策，且A=-AT为斜对称矩阵(亦称这种对策为对称对策)。则VG=0，T(G1)=T(G2)，其中T(G)和工(G)分别为局中人I和II的最优策略集。(定理9)

用代数法证明平面上德萨格定理的逆定理． 德萨格定理的逆定理：设三点形A1B1C1与A2B2C2在同一平面内，B1C1与B2C2的交点为X，C1A1与C2A2的交点为y，A1B1与A2B2的交点为Z，且X，Y，Z在一直线l上，求证：三直线A1A2，B1B2，C1C2交于一点．

证明下列定理：

  定理7 设有两个矩阵对策G₁={S₁,S₂;A₁},G₂={S₁,S₂;A₂}，其中A₁=(a_ij)，A₂=(a_ij+L)，L为任一常数，则有(1)V_G2=V_G1+L；(2)T(G₁)=T(G₂)。

用向量法证明：

  (1)三角形的正弦定理：

    (2)三角形面积的海伦(Heron)公式：△²=p(p-a)(p-b)(p-c).式中的a,b,c依次为三角形三个角A,B,C所对的边的边长，，△为三角形的面积．

用介值定理证明：当n为奇数时，方程至少有一个根其中a∈R为常数i = 0,1,...,n),a_n≠0.

设p是一个大于1的整数且具有以下性质：对于任意整数a，b，如果p|ab． 则p|a或p|b证明，p是一个素数(教材中定理1.4.5之逆命题)．