验证下列在整个xOy平面内是某一函数u（x,y)的全微分，并求这样一个u（x,y):

验证下列P(x，y)dx+Q(x，y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个u(x，y)：(x^2+2xy-y^2)dx+(x^2-2xy-y^2)dy

验证下列P(x，y)dx＋Q(x，y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x，y)的全微分，并求一个这样的u(x，y)： (1)(x＋2y)dx＋(2x＋y)dy； (2)(6xy＋2y2)dx＋(3x2＋4xy)dy； (3)(3x2y＋xex)dx＋(x3－ysiny)dy．

验证下列P(x，y)dx+Q(x，y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个u(x，y)：

  (2xcosy+y²cosx)dx+(2ysinx-x²siny)dy。

证明下列曲线积分在整个xOy平面内与路径无关,并计算积分值:

分析 先验证曲线积分是否与路径无关.计算积分时，可选取易于计算的折线路径,逐段化为定积分计算;或者先求出被积表达式的原函数u(x,y),然后用曲线积分基本公式,算出u(x,y)在上、下限处的值的差即可.

求下列函数y=y(x)的微分：

并计算

确定实常数λ,使向量在右半平面(x>0)内为某函数u(x,y)的梯度,并求出这个函数u(x,y).

求下列方程所确定的隐函数z=z(x，y)的全微分：

下列各式是否为全微分?若是全微分，试求出其原函数u(x,y,z).

若u,v,w为x的可微分函数，求函数y的微分dy：