丧偶的张老汉有三个儿子。在其精心抚养下，三个儿子先后成年离家工作。张老汉一直随着二儿子生活，但

也经常到另两个儿子家小住。1999年7月24日张老汉亲笔立下遗嘱，说在其去世后，老家的祖传房屋由三儿子继承，并经公证机关公证。2000年初，张老汉重病，张老汉住在大儿子家进行治疗。因大儿子伺候周到，张老汉便亲笔立下遗嘱，由大儿子继承其祖传的房屋，并有签名，注明的时间为2000年4月10日。2001年张老汉的病情加重，由二儿子护送至老家，路上二儿子对张老汉照顾得很好。在张老汉的祖屋里，张老汉口述遗嘱：祖传的房屋由二儿子继承，由乡秘书做记录，并在遗嘱上签名，注明年、月、日。张老汉去世后，兄弟三人处理完后事后，各拿出遗嘱要求继承祖传的房屋。

问：张老汉的祖传房屋由谁继承？为什么？