叙述并用逐步逼近法证明关于一阶线性微分方程的解的存在唯一性定理．

证明格朗沃尔(Gronwall)不等式：

  设K为非负常数，f(t)，g(t)为在区间α≤t≤β上的连续非负函数，且满足不等式

  先证K＞0时不等式成立．再取正K→0，可得当K=0时f(t)=0． 于是不等式对非负K均成立．K＞0时不等式成立的证明有：

假设函数f(x，y)于(x₀，y₀)的邻域内是y的不增函数，试证初值问题于x≥x₀一侧最多只有一个．

如果函数f(x，y)于带域α≤x≤β上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程(3.1)满足条件的解于整个区间[α，β]上存在且唯一。

设f(x)定义于-∞＜x＜+∞，满足条件

  |f(x₀)-f(x₂)|≤N|x₁-x₂|，

  其中N＜1，证明方程x=f(x)存在唯一的一个解。