某体系能量算符为H0，有两个能级，二重简并，无简并，受微扰H'作用后，能量算符（H0表象)变成 （1)

一维谐振子，其能量算符为

    (1)

  设此谐振子受到微扰作用

    (2)

  试求各能级的微扰修正(三级近似)，并和精确解比较．

在球对称谐振子势阱

  中运动的粒子，受到微扰作用为

  λ为小常数．

在势场中作低速运动的粒子，计及相对论质能关系后，Hamilton量可以近似取为

    (1)

  其中第二项为动能的相对论修正，可以作为微扰处理．(这里没有考虑与自旋有关的相对论修正项．)试对谐振子和类氢离子，计算这个修正项对能级的影响．

三维各向同性谐振子，能量算符为

    (1)

  (x₁，x₂，x₃即x，y，z)，设此振子又受到动方向均匀力场作用，总能量算符变成

  H=H₀+H'， H'=λx₃  (2)

  视H'为微扰，试利用公式计算微扰作用后的基态平均值〈x_i〉，i=1、2、3，并和精确值比较．