在均值为零、功率谱密度为Pn（ω)=N0/2的加性高斯白噪声n（t)背景中，假设Hj下的接收信号为 Hj:x（t)=sj（t)+n（t)

在均值为零、功率谱密度为Pn(ω)=N₀/2的加性高斯白噪声n(t)背景中，假设H_j下的接收信号为

H_j:x(t)=s_j(t)+n(t)，0≤t≤T

其中，确知信号s_j(t)的能量为。为了实现信号检测，采用正交级数展开法时，我们是先展开系数前N项的似然比函数λ(x_N)，再取N→∞的极限获得λ[X(T)]。如果我们在获得前N个系数x_N=(x₁，x₂，…，x_n)^T的N维联合概率密度函数(似然函数)p(x_N|H_j)后，先取N→∞的极限，求得概率密度函数p[x(t)|H_j]，再建立似然比检验,结果是一样的。请证明概率密度函数p[x(t)|H_j]可表示为

其中