巨正则系综经常简写为（NPT)。（)

已知巨正则系综的配分函数为

  ，

  求证能量涨落满足

  .

试用巨正则系综求解题8.3，并与正则系综的结果比较．

试用巨正则系综求解题8.2，并与正则系综的结果比较．

  

利用经典统计理论证明，对巨正则系综以下涨落公式成立：

    对理想气体则有。

证明熵的下列公式：

设有一N个相互作用可以忽略的粒子(可看成质点)组成的系统，在满足经典极限的条件下，巨正则系综的几率分布为

  

  (i) 试证明巨正则系综的总粒子数是N的几率为

  

  其中Z_N是总粒子数为N时的正则系综配分函数．

  (ii) 证明使P(N)取极大的总粒子数满足下面的关系：

  

  (证明时，直接求lnP(N)的极大更方便．)

  (iii) 上式进一步可以化为

  N=e^-αZ，

  其中z为单粒子的配分函数，即．上述结果说明什么?

体积V内含有N个粒子，试用巨正则系综理论证明，在一小体积v中有n个粒子的概率为

  ，式中，为体积v内的平均粒子数．上式称为泊松分布．

由巨正则系综证明下列涨落公式：

  

  其中“+”对应理想玻色气体，“-”对应理想费米气体．

  注：从上面的结果立即看出，当满足非简并条件，即时，

  上式化为

  

  由此可见，全同费米子之间的有效排斥(源于泡利不相容原理)使ε_λ能级上的粒子占据数的涨落减弱(起抑制作用)；而全同玻色子之间的有效吸引使涨落加强．

假设由N个单原子分子组成的理想气体，所占体积为V，v是V中一个小体积。试利用巨正则系综证明，v内有n个分子的几率为

  

  式中，是体积v内的平均粒子数。上式称为泊松分布。

在体积为V的容器中装有理想气体，处于平衡态．设气体满足经典极限条件，总分子数为N．为简单，将分子当作质点．今考查V内一个固定体积v，把v内的气体分子看成系统，把周围的气体分子当作大热源和大粒子源．试应用巨正则系综，在V→∞，N→∞，但保持N/V=常数的极限(即热力学极限)下，证明在体积v内有n个分子的几率为

  

  其中为体积u内的平均分子数．