多面体几何学和化学的关系日益显得重要。在第4章和实习中，示出了五种正多面体的图形和性质，介绍了

多面体通用的Euler公式[项角数(V)+面数(F)=棱边数(E)+2]，讨论了等径圆球密度堆积中的四面体和八面体空隙的几何学等，帮助读者在了解有关化合物的结构和性质上打下一定的基础。随着球碳(如C₄₀，C₆₀等)的出现、单质碉中B₁₂单元和B₄₀壳层结构的测定，以及包合物和原子簇化合物中呈现的种种多面体的结构，又吸引读者进一步学习多面体的结构的兴趣。试回答下面有关多面体几何学的问题：

(1)当多面体只由五边形面(F₅)和六边形面(F₆)组成，每个顶点都连接3条棱时，试证明不论由多少个顶点组成多面体，其中五边形面的数目总是12个。

(2)已知C₅₀分子是个具有足球外形的32面体，试计算其价键结构式中的C-C单键数目，CC双键数目和C—C键数目。

(3)已知C₈₀，C₈₂和C₈₄都能包合金属原子，形成等分子。试分别计算C₈₀，C₈₃和C₈₄分子中含有六边形面的数目。

(4)气体水合物晶体的结构，可看作由五边形面和六边形面组成的多面体，其中包合气体小分子(如CH₄)，多面体共面连接而成晶体。试求5¹²，5¹²6²，5¹²6³等三种多面体(5¹²指含12个五边形面的多面体，5¹²6²指含12个五边形面和2个六边形面的多面体)各由几个H₂O分子组成，作图表示这些多面体的结构。