试证明，在非相对论情形下，发生α衰变时，α粒子所获得的动能为 ,式中Q为衰变能，A为母核质量数。

在极端相对论情形下，N个粒子的能量可表示为，式中，c为光速，试求系统微观状态数与能量的关系。

考虑到相对论效应，试求实物粒子的德布罗意波长的表达式，设E_k为考虑相对论效应时粒子的动能；m₀为粒子的静止质量。

当考虑粒子运动速度接近光速(极端相对论性)的情形时，粒子能量与动量的关系可写为ε=cp，式中，c为光速．试证明：在体积V内、在ε～ε+dε的能量范围内，三维极端相对论性自由粒子的量子态数为

 式中，D(ε)为态密度．

  ，

  式中，n_x，n_y，n_z=0，±1，±2，…．试根据公式

  证明非相对论粒子的玻尔兹曼系统的物态方程为．

在什么速度下粒子的动量等于非相对论动量的两倍?又在什么速度下粒子的动能等于非相对论动能的两倍。

在什么速度下粒子的动量等于非相对论动量的两倍?又在什么速度下粒子的动能等于非相对论动能的两倍？

在极端相对论情形下，电子能量与动量的关系为ε=cp．式中，c为光速．试求自由电子气体在OK时的费米能量、内能和简并压．