设ξ，η是一个欧氏空间里彼此正交的向量，证明：|ξ+η|²=|ξ|²+|η|²（勾股定理)。

设V是一个欧氏空间，α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V，规定

证明：τ是V的一个正交变换，且τ²=t，t是单位变换。

线性变换τ叫作由向量α所决定的一个镜面反射。当V是一个n维欧氏空间时，证明存在V的一个标准正交基，使得τ关于这个基的矩阵有形状：

在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义。

设η是欧氏空间中一单位向量，定义T(α)=α－2(η，α)η．证明： (1)T是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射； (2)T是第二类的(即T对应的矩阵的行列式为－1)； (3)如果n维欧氏空间中，正交变换T以1作为一个特征值，且属于特征值1的特征子空间V1的维数是n－1，则T是镜面反射．

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个标准正交基，α是V中任一非零向量，φ_i是α与e_i的夹角.证明

  

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个标准正交基，α是V中任一非零向量，φ_i是α与e_i的夹角.证明

    (6-20)

1)设α，β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量，证明：存在一镜面反射使

2)证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。

设α1,α2……αn为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分与必要条件是，对V中任意向量α都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．

一正交变换使的充分必要条件为

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n，β=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n，都有

  〈α，β〉=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n  (6-23)

  则e₁，e₂，…，e_n是V的一个标准正交基.

设e₁，e₂，…，e_n是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n，β=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n，都有

  〈α，β〉=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n  (6-23)

  则e₁，e₂，…，e_n是V的一个标准正交基.

由这组向量通过正交化方法所得的正交组。证明，这两个向量组的格拉姆行列式相等，即