设＜ A,★,*＞是一个代数系统,且对于任意的a∈A,有a★b=a,证明:二元运算*对于★是可分配的。

设f₁、f₂都是从代数系统(A，★)到(B，*)的同态．设g是从A到B的一个映射，使得对任意a∈A都有g(a)=f₁(a)*f₂(a)．证明：如果(B，*)是一个可交换半群，那么g是由(A，★)到(B，*)的同态．

设有代数系统(A，*)，对任意a，b，c，d∈A，有

  (1)a*a=a：

  (2)(a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)．

  试证明：a*(b*c)=(a*b)*(a*c)．

(A，*)是代数系统，对任何a，b，c，d∈A，有：

  (1)a*=a=a，

  (2)(a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)

  试证明：a*(b*c)=(a*b)*(a*c)

(A，*)是代数系统，对任何a，b，c，d∈A，有：

  (1)a*=a=a，

  (2)(a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)

  试证明：a*(b*c)=(a*b)*(a*c)

设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为：对于任意的a．b∈I，a*b=a+b-5．证明(I，*)是群．

设(A，m，)是一个代数系统，*满足结合律，满足对*的分配律，对任何a₁，b₁，a₂，b₂∈A，试证明：

  

  =

设(A，+，×)是一个代数系统，其中+、×为普通的加法和乘法运算，A为下列集合：

  (1)A={x|x≥0，x∈Z}；

  (2)A={x|，a，b∈Q}；

  (3)A={x|，a，b∈Q}；

  (4)A={x|，a，b∈Q)．

  那么(A，+，×)是域吗?为什么?

设(A，*，)是一个代数系统，*满足结合律，满足对*的分配律，对任何a₁，b₁，a₂，b₂∈A，试证明：

 

设(A，*，)是一个代数系统，*满足结合律，“”满足对“*”的分配律，对任何“a₁，b₁，a₂，b₂∈A，试证明：

  

  

设代数系统< A,* >,其中A={a,b,c}.*是A上的一个二元运算.对于由以下几个表所确定的运算,试分别讨论它们的交换性、等幂性以及在A中关于*是否有幺元。如果有幺元,那么A中的每个元素是否有逆元。