设F是一个数域，a∈F。证明：x-a整除xⁿ-aⁿ。

证明：数域F上n次多项式f(x)能被其导数f'(x)整除的充要条件是f(x)=a(x-b)ⁿ，这里，a，b∈F．

  证明 仅证必要性．

证明：数域F上的一个n次多项式f(x)能被它的导数整除的充分且必要条件是f(x)-a(x-b)"，这里a，b是F中的数．

设X是数域F上全体n(n＞1)阶方阵作成的集合．问： φ：A→|A| 是否为X到F的一个映射?其中|A|为A的行列式．是否为满射或单射?

设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式，设A是数域K上的n级矩阵，定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm．显然，(A)仍是数域K上的一个n级矩阵，称，(A)是矩阵A的多项式．证明：如果A～B，则f(A)～f(B)．

设A与B是数域F上两个n阶相似方阵，F[A]为系数属于F的关于A的一切多项式作成的集合．问：法则 φ：f(A)→f(B) 是否为F[A]到F[B]的映射?其中f(x)是系数属于F的任意多项式．又φ是否为单射或满射?

数域K上的n个方程的n元线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β对任何β∈Kn都有解的充分必要条件是它的系数行列式｜A｜≠0．

数域K上n阶矩阵全体M_n(K)组成线性空间V，定义V上的变换：φ(x)=AXB，其中A，B是两个n阶矩阵．证明：

  (1)φ是V上的线性变换．

  (2)φ是线性同构的充要条件是A，B都是可逆的．