设V是复数域上线性空间，其维数n≥2，f（α，β)是V上一个对称双线性函数。1)证明：V中有非零向量ξ使f（ξ，ξ)=0;2)如果f（α，β)是非退化的。则必有线性无关的向量ξ，η满足f（ξ，η)=1，f（ξ，ξ)=f（η，η)=0。

设f(α，β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数，对V中一个元素α，定义V*中一个元素α*：α*(β)=f(α，β)，β∈V。

试证：1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;

2)对V的每组基ε₁，...，ε_n，有V的唯一的一组基ε₁'，...，ε_n'使f(ε_i，ε_j')=δ_ij;

3)如果V是复数域上n维线性空间，则有一组基η₁，...，η_n，使η_i=η_i'，i=1，...，n。

设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε₁，...，ε_n如果满足

则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足

则称为V的一个准正交变换。试证：

1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;

2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;

3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;

4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足

设σ为n维线性空间V的线性变换，下面三个条件等价：

  (1)σ是单射；(2)σ是满射；(3)σ是双射.

  若σ是无限维线性空间V的线性变换，则σ是单射与σ是满射等价？

设σ为n维线性空间V的线性变换，下面三个条件等价：

  (1)σ是单射；(2)σ是满射；(3)σ是双射.

  若σ是无限维线性空间V的线性变换，则σ是单射与σ是满射等价？

在向量空间V中，给出对称双线性形式σ，它的矩阵表示是

求：(1)[a]⊥；(2)V⊥．

在向量空间V中，给出对称双线性形式σ，它的矩阵表示是

求：(1)σ的秩； (2)[a]⊥； (3)[a，b]⊥； (4)[a，b，c]⊥， (5)V⊥．

如图13.3.11所示电路。已知U_S=30V，I_S=2A，R=5Ω，P为线性电阻组成的对称双口网络。开关K闭合时，U_R=1V、U=8V，求K打开后的电压U。

 

电路如图16—26所示，已知Us=20V，Is=2A，R＝5Ω，P为线性电阻组成的对称双口网络。开关S闭合时，UR=1V，U=8V，求开关S打开后的电压u(t)。

一个近轴区域消除位置色差的双胶合透镜，其合成光焦度φ=1，火石玻璃在前，n₁=1.6475，v₁=33.9；n₂=1.5147，v=60.6，为了减小高级像差，取双凹形，当|ρ₁|＜2，|ρ₂|＜2时，试求的变化范围。

一个近轴区域消除位置色差的双胶合透镜，其合成光焦度φ=1，火石玻璃在前，n₁=1.6475，v₁=33.9；n₂=1.5147，v=60.6，为了减小高级像差，取双凹形，当|ρ₁|＜3，|ρ₂|＜3时，试求的变化范围。