设二次型f（x₁，x₂，···，x_n)的矩阵为A，λ是A的特征多项式的根，证明：存在Rⁿ中的

式的根，且λ₁≤λ₂≤···≤λ_n。证明：对任一X∈Rⁿ，有

设实二次型，证明：f(x₁，x₂，...，x_n)的秩等于矩阵。

的秩。

设n元二次型f(x₁，x₂，…，x_n)的矩阵为n阶五对角对称矩阵

试写出二次型的表达式。

设f(x₁，...，x_n)=X'AX是一实二次型。已知有实n维向量X₁，X₂使证明：必存在实n维向量X₀≠0，使X₀'AX₀=0。

b₂，...，b_n是任意n个数，显然适合条件L(a_i)=b_i，i=1，2，...，n。这称为拉格朗日(Lagrange)插值公式。

利用上面的公式求：

1)一个次数<4的多项式f(x)，它适合条件：f(2)=3，f(3)=-1，f(4)=0，f(5)=2。

2)一个二次多项式f(x)，它在x=0，2/π，π处与函数sinx有相同的值。

3)一个次数尽可能低的多项式f(x)，使f(0)=1，f(1)=2，f(2)=5，f(3)=10。

设2n元二次型

  f(x₁，x₂，…，x_2n)=x₁x_2n+x₂x_2n-1+…+x_nx_n+1

  试用可逆线性替换将其化为标准形．

设二次型f(x1，x2，…，xn对应的矩阵为A，λ是A的特征值．证明：存在Rn中的非零向量

，使f

．

设n元二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX，其中AT=A．如果该二次型通过可逆线性变换X=CY可化为f(y1，y2，…，yn)=YTBY，则以下结论不正确的是 ( )．

A．A与B合同

B．A与B等价

C．A与B相似

D．r(A)=r(B)