设G为群，~为G上等价关系，且满足。证明等价类[e]={x|e~x，x∈G}构成G的子群。

设f_n∈L^p(E)(1≤p＜∞，n∈N)，试证明下列命题等价：

  (i)存在f∈L^p(E)，使得

  ．

  (ii)存在f∈L^p(E)，使得f_n(x)在E上依测度收敛于f(x)，而且Γ={|f_n(x)|^p}具有积分一致绝对连续性，即对任给ε＞0，存在δ＞0，使得

   (n∈N，且m(e)＜δ)．

设f_n∈L^p(E)(1≤p＜∞，n∈N)，试证明下列命题等价：

  (i)存在f∈L^p(E)，使得

  ．

  (ii)存在f∈L^p(E)，使得f_n(x)在E上依测度收敛于f(x)，而且Γ={|f_n(x)|^p}具有积分一致绝对连续性，即对任给ε＞0，存在δ＞0，使得

   (n∈N，且m(e)＜δ)．

设A={a，b，c，d，e，f，g}，A中元素分别表示7位大学生，其中a，b，c，d是校篮球队队员；c，d，e是校足球队队员；d，e，f，g是校排球队队员。R是A上的二元关系，其定义为：当x，y∈A，且x，y是同一球队的队员时，(x，y)∈R，证明：R是相容关系但不是等价关系。

假定~是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G的任意三个元a，x，x'来说

证明，与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一一个子群.

设X是有单位元e的Banach代数，若x∈X，,则称x为X的广义幂零元．证明下述3个条件等价：

试证明：

  设{f_n(x)}是I=[0，1]上的实值可测函数列，则下列命题等价：

  (i)存在{f_nk(x)}：，a.e.x∈I．

  (ii)存在数列{t_n}，，在I上a.e.收敛．

  (iii)存在数列{t_n}：，使得在I上几乎处处绝对收敛．

设X是有单位元e的Banach代数，若x∈X，,则称x为X的广义幂零元．证明下述3个条件等价：

  (1)X是X的广义幂零元

  (2)σ(x)={0}

  (3)

集合A={a，b，c，d，e，f，g}，划分π={{a，c，e}，{b，d)，{f，g}}，求划分π所对应的等价关系R的表格表示。